八字形证明角相等

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例题:在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直且相等,若∠BAD=105度,AD=4倍根号2,DC=13。请求出AB的长度。

八字形证明角相等

审题:此题中有两对角线互相垂直且相等,此条件的转化应该成为我们解题的关键点之一,我们可以通过平移构造出等腰直角三角形;另外105度这个条件如何使用,是我们解题的关键点之二,我们发现105度=45度+60度,故需要构造出含有这些角度的特殊三角形,也就是含45度的直角三角形和含60度的直角三角形。

前情回顾:在前文中我们抓住两条对角线互相垂直且相等这一条件进行转化,通过平移其中一条对角线,构造出等腰直角三角形,然后再作出第二个等腰直角三角形,从而构成手拉手模型,然后或全等或相似,将条件集中到一个三角形中求解,得到了6种不同解法。

那么,两条对角线互相垂直且相等这一条件还可以怎样进行转化呢?可以通过中位线转化到一个等腰直角三角形中。

思路7:通过中位线构造等腰直角三角形,然后再构造手拉手模型。

八字形证明角相等

解法7:取AB、DC、AD中点E、F、G,连接EG、FG。显然⊿EFG是等腰直角三角形,故以GD为一直角边向形内再作一个等腰直角三角形MGD,从而构成手拉手模型!易证⊿GME≌⊿GDF(SAS)。在⊿AME中,可得ME=DF=6.5,AM=4,∠EAM=60度,易得AE=7.5,故AB=15。

思路8:通过中位线构造等腰直角三角形,然后再构造手拉手模型。

八字形证明角相等

解法8:取AB、DC、AD中点E、F、G,连接EG、FG。显然⊿EFG是等腰直角三角形,故以AG为一直角边向形内再作一个等腰直角三角形MGA,从而构成手拉手模型!易证⊿GAE≌⊿GMF(SAS)。在⊿DME中,可得DF=6.5,DM=4,∠DMF=60度,易得MF=7.5,故AE=7.5,故AB=15。

由前面的各种解法,我们还可以受到启发,得到如下两种简化解法。

思路9:由解法1得到启发,以AD为一直角边向四边形内部作等腰直角三角形,构造出全等三角形。

八字形证明角相等

解法9:以AD为一直角边作等腰直角三角形ADF,其中DA=DF,显然有⊿DAC≌⊿FDB(SAS) ,所以BF=DC=13。在⊿ABF中,BF=13,AF=8,∠BAF=60度。再过F作FG⊥AB于G,则FAG=4,FG=4倍根号3。于是由勾股定理得BG=11,故AB=EF=15。

思路10:由解法4得到启发,以AD为一直角边向四边形内部作等腰直角三角形,构造出全等三角形。

八字形证明角相等

解法10:以AD为一直角边作等腰直角三角形ADF,其中AF=AD,显然有⊿DAB≌⊿AFC。所以FC=AB,∠AFC=∠BAD=105度。在⊿FDC中,DC=13,DF=8,∠DFC=60度。再过D作DG⊥FC于G,则FG=4,DG=4倍根号3.于是由勾股定理得CG=11。则CF=4+11=15,故AB=FC=15。

两条对角线互相垂直且相等这一条件除了前面的两种转化方法,还可以怎样进行转化呢?可以通过构造旋转中心来进行转化。

思路11:由AC与BD相等且垂直,可以设想有一旋转中心,点B绕其旋转到点A,点D绕其旋转到点C。故以AB为斜边向四边形内部作等腰直角三角形,再证明其直角顶点就是旋转中心。

八字形证明角相等

解法11:以AB为斜边向四边形内部作等腰直角三角形ABE,其中EA=EB。因为∠BEA=∠BOA=90度,由八字形可得∠EBD=∠EAC,再由BD=AC,可证⊿EBD≌⊿EAC(SAS)(实际上就是手拉手的旋转全等) 。所以ED=EC,ED⊥EC,即⊿ECD为等腰直角三角形。在⊿ADE中,AD=4根号2,DE=6.5根号2,∠EAD=60度。故过D作DG⊥AE于G,则AG=2根号2,DG=2倍根号6。于是由勾股定理得EG=5.5根号2。则AE=7.5根号2,故AB=15。

思路12:由AC与BD相等且垂直,可以设想有一旋转中心,点A绕其旋转到点D,点C绕其旋转到点B。故以BC为斜边向四边形内部作等腰直角三角形,再证明其直角顶点就是旋转中心。

八字形证明角相等

解法12:以BC为斜边向四边形内部作等腰直角三角形BEC,其中EC=EB。因为∠BEC=∠BOC=90度,由八字形可得∠EBD=∠ECA,再由BD=AC,可证⊿EBD≌⊿ECA(SAS)(实际上就是手拉手的旋转全等) 。所以ED=EA,ED⊥EA,即⊿EAD为等腰直角三角形。此时CD=13这个条件联系不上,怎么办呢?再以DE为一边构造等腰直角⊿DEF,其中ED=EF。这样再次构造出手拉手模型,必有⊿EBF≌⊿ECD(SAS)(实际上就是手拉手的旋转全等) 。在⊿ABF中,AF=8,BF=CD=13,∠BAF=60度。故过F作FG⊥AB于G,则AG=4,FG=4倍根号3。于是由勾股定理得BG=11。故AB=4+11=15。

总结:

解法1到解法6的共同点都是首先通过平移一条对角线,构造出等腰直角三角形,然后再作出第二个等腰直角三角形,从而构成手拉手模型,然后或全等或相似,将条件集中到一个三角形中求解;

解法7和解法8则是利用中位线,将两条对角线互相垂直且相等这一条件,转化为一个等腰直角三角形然后再构造手拉手的三角形全等,从而将条件集中到一个三角形中求解;

解法9是在解法1和解法3的基础上简化得到的,解法10是在解法4的基础上简化得到的,它们的共同点是直接构造一对全等三角形,将条件集中到一个三角形中求解,其思路实际上还是来自手拉手模型;

解法11和解法12则另辟蹊径,抓住两条对角线互相垂直且相等时必有旋转中心,从而通过构造等腰直角三角形来找到其旋转中心,挖掘出隐含的手拉手模型,再将条件集中到一个三角形中求解。

以上所有解法的核心都离不开旋转!真可谓:旋转构造手拉手,打开解题突破口!一题多解,十分精彩!为防迷路,敬请关注!消化要良,必须收藏!感觉很棒,点赞跟上!觉得还行,转发别停!