十二生肖排序年龄2022岁数表
本文为“第三届数学文化征文比赛
莱布尼茨、二进制和伏羲卦图
： 江辉 马宏云作品编号：001投稿时间：2022 .5.8
莱布尼茨是一位式的科学家，生活的年代与清朝的顺治三年（1646年）—康熙五十五年（1716年）重叠。他很 中国的历史和文化，他在一篇 二进制的论文中提到了伏羲卦图 ，而且在与其他人的通信中多次提及二进制和伏羲卦图。胡阳和铎两位学者认为，伏羲卦图 就是二进制，莱布尼茨创立二进制受到了伏羲卦图的启发1。这些结论值得商榷。
一、《》在欧洲的流传情况
《》是中国古代的一部卜筮之书，由《周易》和《易传》两部分组成，成书于西周时期， 不详，词句古奥。《周易》由卦爻号与卦爻辞组成，后来，儒家学者从义理上对卦爻辞进行阐发，撰写出《易传》，经过历代学者的钩沉稽考，形成了易学。
法国的金尼阁（Nielas TriBauit）神父于1610年和1620年两度来华，他在杭州用拉丁文翻译了《》，但是，这部译著没有在欧洲产生影响。
意大利的卫匡国(Martino Martini)神父精通数学、天文学和测量技术，两度来到中国，为中西科学文化作出过重要贡献。1658年，他在慕尼黑出版了《中国上古史》，里面有论述《》的内容，载有一幅六十四卦图，注明为伏羲所绘，这是引入欧洲的之一幅伏羲卦图。卫匡国介绍，卦图中的基本号是“阴爻”和“阳爻”,阴爻代表着隐蔽的、不完全的事物。阳爻代表着公开的、完全的事物。由它们组成的“三线形号”，就是八卦，分别代表自然现象中的天、地、水、火、雷、山、泽、风。在此基础上，由“三线形号”两两结合，可以组成六十四个“六线形号”，就是六十四卦。
1660年，学者斯比塞尔(Gottlied Spizel)的《中国文史评析》在荷兰莱顿出版，有些资料引用自卫匡国的《中国上古史》，介绍《》的内容很详细，载有伏羲的六十四卦图，还出现了短语“binarium multiplicatis”，是指伏羲卦图的生成方式遵循2的乘方原则。斯比塞尔是莱布尼茨的学术朋友，两人之间有多封书信讨论哲学问题。1660年之后，莱布尼茨阅读过《中国文史评析》一书是没有疑问的，他大概在这个时候了解了《》和伏羲卦图。
比利时的柏应理（Philippe Couplef）神父于1659年来到中国。他致力于传播中国的文化，同几父一起把《大学》、《中庸》、《》和《》翻译成了拉丁文《西文四书直讲》，书中有伏羲八卦次序图和伏羲八卦方位图，还有周文王六十四卦图，卦图上被用数字1、2、3、4、5、6、7、8直至64标有序号。这部著作于1687年在巴黎出版，书名为《中国哲学家孔子》。莱布尼茨于1687年12月19日给一位名叫莱茵费尔(Von Hessen Rheinfels)的先生写过一封信,叙述他阅读《中国哲学家孔子》一书的喜悦心情。莱布尼茨也见到了书中的伏羲卦图。
易学领域有一个学派称作象数派，主要通过伏羲卦图去探究人们趋吉避凶的心理，祈求掌控自然界的变化规律，其理论不乏神秘色彩。北宋的哲学家邵雍是象数派的集大成者，他独辟蹊径，绕开《》卦爻辞的羁绊，用深奥的术语和神秘的图式重新包装《》，创造性地绘制了《伏羲六十四卦次序图》和《伏羲先天六十四卦方位图》，简称次序图和先。次序图和先与之前的伏羲卦图更大的区别就是其按照二进制的序数排列。南宋理学朱熹的《周易本义》中载有这些卦图。需要指出的是，直到1687年，莱布尼茨所见到的各类伏羲卦图都是按照哲学意义排列的，没有凸显二进制的序数特征。
二、莱布尼茨真正认识伏羲卦图的过程
让莱布尼茨更多了解伏羲卦图的人是白晋。白晋是一位法国神父，做过康熙的数学老师，他奉康熙之命回欧洲招募科学人才，于1697年到达巴黎，在此作过一场 易学的演讲，批评有人将《》看成之书，称《》蕴涵了中国君主政体的奠基者伏羲的哲学思想，与柏拉图和亚里士多德一样合理而完美。不久，白晋读到莱布尼茨的《中国近事》一书，两人开始书信交往。他们留存下来的通信有十五封之多2，时间从1697年10月18日开始，其中有许多讨论二进制和伏羲卦图的内容。
1698年2月28日，白晋写信之一次向莱布尼茨介绍了伏羲卦图：“最初的汉字由虚线或实线构成，据说为伏羲所创。我认为已经找到了学习它的真正秘诀。柏应理神父在《中国哲学家孔子》的序言这些汉字列成了表格。”白晋提到的汉字列成的表格就是柏应理书中的伏羲卦图，还不是邵雍绘制的先，没有跟二进制 起来。他认为这只是以简单自然的创造的汉字。
回到中国以后，白晋对《》有了更为清晰的认识。1700年11月８日，白晋从给莱布尼茨写去一封信，称伏羲是人类最早的法典制定者，伏羲卦图是中国文化最原始号，具有完备的形而上学体系，这些号兼有算术和语言两种功能，表达思想的语言可以通过数学的精确性来分析。白晋特别谈到，在伏羲卦图中，如果用0替代虚线，用1替代实线，六十四卦就是完美的数。“《》秘的数与毕达哥拉斯、柏拉图和埃及犹太哲学中的数是的，都 于造物主的神秘启示。”白晋精通象数理论，熟知中国用算筹表示数字的方式，与两爻重叠排列的形象很相近，自然联想到把卦图中号转换为数字。这时，白晋虽然把伏羲卦图与数字 了起来，只是他还不懂得二进制算术，没有往二进制数上考虑。
莱布尼茨一直试图创立“通用字”的思想，用特殊号表示一般的概念，让思维过程像几何推理一样，利用逻辑演算去发现和发明真理。莱布尼茨考虑的是伏羲卦图与“通用字”的关系，因此，他也没有发现白晋转换过来的数字是二进制数，失去了一次发现伏羲卦图蕴涵着二进制的机会，使得一个重大的科学发现往后推迟了一段时间。
莱布尼茨于1701年2月15日给白晋回信，还在介绍“通用字”的思想，他还提到了他发明的微积分和二进制。 二进制，他向白晋解释道：“如同十进制使用从0到９这十个数字一样，只使用０和１这两个数字就够了。”信中提到了二进制的运算法则，列出了从０到31的二进制数表。莱布尼茨还建议白晋将二进制介绍给康熙。
莱布尼茨1701年2月15日致白晋信手稿莱布尼茨之所以向白晋介绍二进制，是因为他刚成兰西皇家的院士，他打算向提交一篇 二进制的论文《数字新科学论》，顺便把论文的内容就告诉了白晋。２月26日，莱布尼茨把论文投稿给。4月30日，的封丹纳尔(De Fontenelle)致信莱布尼茨，提出，由于论文中没有反映二进制的实用价值，故不能在的刊物上发表。其实，莱布尼茨始终在寻求二进制的实用价值。他曾经有用二进制原理计算器的设想，没有实现。他还试图把二进制引入神学领域，用二进制算术证明上帝的存在。在德国图灵根郭塔王宫图书馆里保存有一份莱布尼茨的手稿，标题是：“1与0，一切数字的神奇渊源。这是造物之神秘而美妙的典范，因为，一切都 于上帝。”1696年5月，莱布尼茨拜访汉诺威的奥古斯特（Ruddph August）公爵，在谈论神学文化时，他向公爵介绍了二进制算术。公爵认为，从神学的角度阐释二进制的意义，可以为上帝创世纪说提供科学的解释。1697年元旦，莱布尼茨给公爵写了一封信，详细阐述了二进制所蕴含的“从无到有”的创世纪思想。莱布尼茨在信中设计了一枚“创世图”纪念章，图案中有从０到16的二进制数表以及加法和乘法运算的例子，并写有“虚无诞生壹”和“壹创造一切”的文字。1696年12月20日，莱布尼茨给清朝钦天监监正闵明父写信，详细介绍了二进制算术，列出了从0到31的二进制数表，举例说明了加法和乘法的运算法则。闵明我给康熙讲授过数学，莱布尼茨希望闵明我能把二进制教授给康熙,让康熙了解文化的优越性。
莱布尼茨计的“创世图”纪念章就在莱布尼茨写给白晋的这封信件中，也透了浓厚的神学情结。他写道，二进制的伟大之处在于模拟了上帝的造物过程。世界初始只有两种状态，上帝和虚无。上帝代表完美，虚无代表不完美。世界万物都是由上帝从虚无之中创造的。这个时候，莱布尼茨仍然不知道二进制与伏羲卦图之间的关系，而所谓二进制在神学上的应用并不适合写入科学的论文之中。
莱布尼茨二进制论文的手稿白晋从莱布尼茨的这封信件中学习到了二进制的知识，立刻就发现了二进制与先之间的关系，于1701年11月4日给莱布尼茨写信，随信寄去了一幅先，明确指出，只须把实线替换成1，把虚线替换成0，每一卦就对应一个二进制数，而且，先是按照二进制的序数排列的。正是白晋独具慧眼，揭开了蒙在伏羲卦图上的神秘面纱。信中写道：“您不应该把二进制视为一门新科学,因为中国的伏羲早都发明了。”
白晋寄给莱布尼茨的先这封信于1703年 4月2日辗转到了莱布尼茨手中。他立即对先进行了研究，在每一卦上标注了对应的数字，确认卦图的排列与二进制序数是一致的。他完全赞同白晋的观点。作为二进制的一个实用例证，他将白晋的发现吸纳进二进制的论文之中，同时把先也收录其中,题为《论单纯使用0与1的二进制算术—兼论二进制用途以及古代中国伏羲号的意义》，于1703年５月５日寄往法兰西皇家，后来发表在了《1703年皇家年鉴》上。
莱布尼茨1703年5月18日致白晋信手稿莱布尼茨处理完论文以后，才给白晋复信，于5月18日寄出。莱布尼茨写道：“这张图乃是世界上最古老的科学文物，数千年来不为人们所理解，却与二进制算术如此吻合。当您向我解释这些号时，我恰好向您介绍二进制算术，它们巧合得令人吃惊。如果我未曾发明二进制算术的话，哪怕对伏羲卦图再深入研究也未必能够理解。我在二十年前就开始思考二进制的问题，意识到用０和１表示的数更臻于完美，计算也非常简便。”因为之前的伏羲卦图都没有按照二进制序数排列，所以一直没有人发现这个秘密，而先是严格按照序数排列的，这才被白晋和莱布尼茨发现。所以，莱布尼茨产生质疑，传统的卦图为什么不像先那样，按照二进制的序数排列，他在信中问白晋，《中国哲学家孔子》中的伏羲卦图为什么与先不一样？
柏应理书中的六十四卦图从此，莱布尼茨不再说自己发明了二进制，只是说他重新发现了伏羲的学问。他的《论中国人的自然哲学》中有一节“论创始者伏羲的文字与二进制算术中所用号”，就是他和白晋通信内容的一个总结，代表了他们的共同观点。文中写道：“我和白晋神父发现了这个帝国的奠基者伏羲所创造卦图的原本意义，它们由一些虚线和实线组成，共有六十四个号，算是中国最古老的文字，也是最简单的文字。伏羲以后的几个世纪，周文王与其子周公以及再晚五个世纪的孔子，都在卦图里探寻过哲理，还有人要从中引申出风水和之类的东西。其实，六十四卦图就是伟大的家伏羲创立的二进制算术，在几千年之后，由我重新发现了3。”白晋在研究易学方面虽然颇有心得，但是，对易学领域还是缺乏深入的了解，他向莱布尼茨传达了很多错误 ，把神话当作史料，对伏羲做了不实的赞誉，没有说明先是邵雍绘制的，让莱布尼茨误认为先是远古的文物。白晋甚至都没有告知阴爻和阳爻的名称，导致莱布尼茨在手稿中一直称阴爻为虚线，称阳爻为实线。莱布尼茨不是神，他受白晋的影响，崇拜易学文化，导致他确信伏羲创立了二进制，而且不惜用溢美之词予以赞誉。不过，这倒反映了莱布尼茨没有掠人之美的念想，对自己发现二进制一事看得很淡。三、伏羲卦图与二进制殷商时期，中国已经有了比较完备的十进制计数法。根据人类文明发展史的常识，《周易》作为一部文明源头的著作，其内容和思想都处于文化的萌芽状态，书中的算术知识极为简单，根本没有二进制的内容。通读《周易》可知，所谓算术知识，无非也只是计数而已，那都是采用十进制表述的。易学里的伏羲卦图种类很多，有八卦图，也有六十四卦图。八卦图的排序一般具有对称性，六十四卦图则是根据卜筮之辞排序的。通行的《周易》和从长沙马王堆汉墓出土的帛书《周易》的排序不尽相同，但是，都没有按照二进制的序数排列。易学研究领域有一种说法，阴爻和阳爻具有数字特征。从殷商出土的一些陶器、甲骨和竹简上留存 得知，阴爻是从偶数演变而来，阳爻是从奇数演变而来。这些号形成以后，虽然凸显了其中的哲学意义，也残存了数字的模糊影像，因此，数学家们把《》和数学扯上了关系。始作俑者是魏晋时期的刘徽，他在《九章算术注》中写道：“昔者包牺氏始画八卦，以明之德，以类万物之情，作九九之数，以合之变。”包牺氏是伏羲的别名。刘徽的观点影响了之后的数学家。北宋的秦九韶在《数书九章》中说：数学“爰自河图洛书，闿发秘奥，八卦九畴，错综精微，极而至于大衍皇极之用。”明朝的程大位在《算法统宗》中载有伏羲作卦图的插画，书中写道：“数何肇？其肇自图书乎！伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列得之以开物成务。凡天官、地员、律历、兵赋以及纤悉杪忽，莫不有数，则莫不本于《易》。”邵雍利用象数推演替代哲学思考，给人的感觉像在进行数学运算。他在《观物外篇》论述道：“有意必有言，有言必有象，有象必有数。数立则象生，象生则言著彰，言著彰则意显。象数则筌蹄也。”意思是说，思想可以用语言表达，语言可以用图象表达，图象可以用数字表达。反之亦然。所以，象数是表达思想的工具。这与莱布尼茨“通用字”的思想颇为一致。在邵雍绘制的先中，只要把阴爻当作0，把阳爻当作1，其排列与二进制的序数完全相同，这无疑是一个二进制的模型。但是，这个二进制的模型只是无心插柳柳成荫的结果，不能据此认为邵雍创立了二进制，只能说是数学思想把先统一到了二进制的理论系统之中。数学发展史的常识告诉我们，任何一项数学成就的取得，无外乎两个原因，一是数学内部理论研究的进展，二是数学外部发展进步的要求。首先，邵雍并不是数学家，他在数学上没有任何建树，没有撰写过数学论著，也未见他与哪一个数学家有过学术交往。邵雍没有任何论述二进制的片言只语，他也根本不二进制理论，他既没有明确界定和命名二进制的数学概念，也没有科学地表述二进制的重要性质和意义，更没有完善二进制与其它数学概间的逻辑关系。从邵雍的论著里，也看不出他具有超出常人的数学素养，邵雍创立二进制就像当今的“民科数学家”要解决哥德猜想一样，是绝对做不到的。不要说他，就是与他同时代的数学家们，也没有人涉猎过二进制的研究领域。卦图号在《周易》里早已存在，宋代之前，《周易》和伏羲卦图中根本没有二进制 。邵雍在先里将这些号重新进行排序，并不是主动按照二进制原理做的，只是碰巧了二进制数的顺序而已。所以，我们只能谨慎地说，先里生长着二进制的萌芽。有人提出，邵雍说的“加一倍法”就是“逢二进一”法则，这完全是毫无根据的猜测。仅从词义上理解，它们也不是同一件事情。“加一倍法”是增加了一倍的意思，即乘以2，是指伏羲卦图的生成过程，上一层级的每一卦顺次增加一爻，则卦的个数将增加一倍。即“一分为二，二分为四，四分为八，八分为十六，十六分为三十二，三十二分为六十四。故曰分阴分阳，迭用柔刚，易而成章也4。”这完全是十进制的说法，跟二进制的“逢二进一”没有任何关系。从概念的原本意义考察，由阳爻和阴爻组成的卦图号表示的是抽象的哲学事物，即使它们与数字有 ，也是十进制中的1—64，包括邵雍在内的宋元明清的易学家和数学家，没有一个人提出，可以用二进制数来表达。邵雍在绘制先的过程中，凡涉及到计数问题，都是用十进制去解决的。如说到八卦的排序，他的表述是：乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。如果邵雍懂得二进制原理，那么卦图号的顺序就会很清晰，不需要借助任何，就很容易被人记忆，但是，直到南宋，朱熹还根据八卦号的直观形象编写了记忆口诀：乾三连（），坤六断（），震仰盂（），艮覆碗（），离中虚（），坎中满（），兑上缺（），巽下短（）。这从一个侧面反映出邵雍和朱熹都没有意识到先与二进制之间的密切关系。清朝乾嘉年间，有一位著名的数学家汪莱，他的《参两算经》是专门论述进位制理论的著作，他也没有指出先就是二进制。那么，先怎么恰巧就与二进制的序数相同的呢？这个问题困惑了许多人，甚至有学者用概率论的解读认为，64个元素总共有64！种排列，要在这天文数字的排列中找到与二进制数的顺序完全相同的一个，这几乎就是不可能啊！进而得出，如果邵雍不是熟知二进制原理，他怎么就能够找到这一个排列呢？其实，先和二进制都是由两个基本号表示的，这其实就是元素可重复排列的组合问题。从2种号中每次取3个,排成一排，共有23=8种排法，得到《周易》里的八卦和二进制里的前八个数。从2种号中每次取6个,排成一排，共有26=64种排法，得到《周易》里的六十四卦和二进制里的前六十四个数。先中的卦序与二进制的序数相同，其实是一个必然。邵雍并不需要懂得二进制知识，二进制不是绘制先的必要条件。事实是邵雍创造性地运用了另外一个数学，用“树图”自然而然地生成了一棵二进制的“数学树”，这就是《伏羲六十四卦次序图》。
伏羲六十四卦次序图邵雍按照“树图”的画法，把阴爻画成黑色，把阳爻画成白色。先有太极，由下而上，按照“加一倍法”，先画阴爻，后画阳爻，相间画去。由太极依次生成两仪、四象、八卦、十六卦、三十二卦和六十四卦，最终成为六十四卦次序图，这个次序图可以无限绘制下去。由于次序图是严格按照“树图”生成的，由下往上读取，就形成了六十四个卦图号。从左边的坤卦按顺序直到右边的乾卦，自然就满足了二进制前六十四个数的顺序。明白了次序图的结构，就很容易绘制出先。先看它外部的圆图，只要把右半圆周拉直，就是次序图对称轴左边的部分。把左半圆周拉直，就是次序图对称轴右边的部分。再看内部的方图，规律更加明显，只须将次序图中每一卦按照从左到右的顺序，每八个为一段，依次排成八行。需要说明的是，这样构造出来的先仍然了对称性，只是把次序图中的轴对称变成了中心对称而已。用数学很容易证明，在圆图中， 圆心对称的两个卦在次序图中也是对称的。在方图中， 圆心对称的两个卦在次序图中也是对称的。由于先与二进制在代数上是同构的，先的顺序和对称结构也不再是秘密，这就很容易理解，二进制算术里的数学性质，一般来说，也都可以拓展到先里。这并不代表邵雍在那个年代发现了诸多的现代数学知识，而是数学思想统一了先中所蕴含的朴素的二进制因素。四、莱布尼茨与二进制莱布尼茨1703年5月18日致白晋的信中提到，他在二十多年前就发明了二进制，那正是他在巴黎创立微积分的时期。莱布尼茨在1707年12月15日致布尔盖(D.Bourguet)的信中提到：“当初我创立二进制算术时，对《》的卦图并不是很了解。”莱布尼茨有一份手稿《二进制算术的阐释》，写作时间是1679年3月15日，一直没有发表，被搁置了二十多年。但凡数学上的创新和发现，都是循着前人开辟的道路进行的，在超越前人的过程中，并不能保证可以眷顾到所有具有启迪性的思想成果。莱布尼茨在发明二进制之前，只是从卫匡国的《中国上古史》和斯比塞尔的《中国文史评析》上间接地了解《》，这些文献都不是数学著作，虽然卫匡国称《》是数学著作，也只是一种臆测。莱布尼茨所见到的伏羲卦图不是邵雍绘制的先，卦图的顺序是按照哲学理念排列的，没有按照二进制的顺序排列。莱布尼茨的学术兴趣是发展“通用字”的思想，他关心的是卦图号的语言和逻辑意义，压根儿没有从数学角度去考虑问题，所以，莱布尼茨在易学文献中无从获悉二进制 。如果莱布尼茨在见到伏羲卦图时就受到启发，他的二进制论文早就提前二十多年就发表了。另外，有人说斯比塞尔著作中在介绍伏羲卦图时提到的短语“binarium multiplicatis”是二进制的意思，莱布尼茨由此受到启发。这是不顾历史事实的臆测。斯比塞尔写作这部著作的时候，二进制的概念还没有被明确提出。“二进制”一词是被莱布尼茨引入学术界的，当时，他还没有思考二进制的问题。斯比塞尔不是数学家，他无从知道什么是二进制。这个短语也不是二进制的意思，而是指2的乘方，是说伏羲卦图产生的方式。其实，莱布尼茨发现二进制的契机很简单，完全就是水到渠成，一蹴而就的结果。从数学认知的规律考虑，具备数学基本素养的人只要熟悉了进位制理论，提出任何进位制都是平凡的推论。事实上，任何一个比1大的自然数都可以作为一种进位制的基数，理论上可以构造出无穷多种进位制，这在数学上是一个极为简单的常识。莱布尼茨1663年暑假去到耶拿大学学习数学，老师是魏格留斯(Erhard Weigel)教授。魏格留斯对古希腊的数学思想研究颇有心得，崇尚毕达哥拉斯和柏拉图的数学观，认为物质世界的合数学法则。莱布尼茨深受老师思想的启迪。1672年，魏格留斯在耶拿大学的学刊《Joham Meyer》上发表了《十结构》一文，系统地提出了四进制的概念，用0、1、2、3来表示所有的数，“满三进一”，象征着“三”是完满。不久，莱布尼茨写出《二进制算术的阐释》手稿。毫无疑问，莱布尼茨无论是从老师的课或者从老师的论文里，熟知进位制理论是没有疑义的。从莱布尼茨的《论中国人的自然哲学》中我们知道，莱布尼茨非常熟悉进位制的历史，他提到，古罗马人曾经使用混合五进制和十进制的算术，提到历史上出现过四进制和十二进制，他明确地写道：正是魏格留斯的四进制，“给了我一个机会，提出一切数都可以用二进制的0和1写出。”由此可知，莱布尼茨发明二进制是受到他老师的启发，与伏羲卦图没有关系。有人诟病莱布尼茨，质疑他有意掩饰受到伏羲卦图启发而发现二进制，是没有事实依据的。莱布尼茨从来没有把二进制的发明权据为己有。他反而大力吹捧是伏羲早在他四千年前就发明了二进制，他还把这个重大发现归功于白晋。事实上，各种进位制的计数方式早已存在于人类的活动之中了。在世界文明的发源地，古巴比伦人之一个发明了位值制，使用过六十进制，人使用过二十进制，中国独自发明了位值制，是最早使用十进制的。商代甲骨卜辞中就有了1—9的数码和位值制的记数法，战国时期出现了十进制的筹算记数，以空代表0，非常先进。太平洋上的芒阿雷瓦岛的部落早在1450年之前就在使用二进制，至今，波利尼西亚和澳大利亚的有些土著居民还在使用二进制5，其实，数学家的所谓发明，也就是把人类世俗生活中的计数进行了数学化的处理，所以，发明二进制谈不上是什么了不起的数学成果。其实与莱布尼茨同时代的数学家洛布克威兹(Y.Lobkowitz)在1670年出版的《双面数学》中，也有讨论十二进制和二进制的内容。莱布尼茨也许不知道，在那个时代，英国有一位才华横溢的数学家哈里奥特6(Thomas Harriot)，他遗存的手稿里有大量数学和物理 性的成果。因为当时没有科学类期刊，这些成果无处发表。哈里奥特1603年的手稿《数学计算与注解》中，就有详细论述二进制算术的内容，理论结构几乎与莱布尼茨的相同，用0和１作为基本计数号，命名二进制为Binary numeration，提出了加减法以及乘法运算法则，还讨论了用连分数的形式表示二进制的相关问题。注释1、胡阳、铎 《莱布尼茨二进制与伏羲八卦图考》 上海 上海出版社 2006 年2、见R.Widmaier编：《Leibniz korrespondiert mit China: Der Briefwechsel mit den Jesuitenmissionaren (1689—1714)》 Frankfurt am Main:Klostermann. 19903、陈乐编 莱布尼兹读本 江苏教育出版社 2005年11月4、邵雍 《皇极经世书》 郑州 中州古籍出版社 2007年1月5、见巴什玛柯娃等编 刘绍祖译 《初等数学（之一卷）算术（之一分册）》 高等教育出版社1959年6月6、哈里奥特的事迹见Robyn Arianrhod 《Thomas Harriot: A Life In Science》 Cambridge University Press 2022 年
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