本文转自数学纵贯线公众号。
本文作者林开亮，任教于西北农林科技大学理学院。
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上集
我第一次去城里，是在很小的时候——20多年了，也许是小学五六年级，跟着一个种菜的表姑妈推着板车去常德县城蔬菜市场卖菜。我当时一定头一次吃到不少好吃的，但现在想不起来了，不过我还记得当时我拆了一个算命先生的台，为此我表姑妈颇为得意。这种猜姓氏的把戏估计大家都见过，以下是我当时遇到的版本。
首先算命先生会摊开一张百家姓的大图纸，里头有很多小格子，每个小格子里有一定数目的姓氏，大图纸旁边会放一些小纸片，每张小纸片上会有一定数目的姓氏。他会要求你用有你姓氏的小纸片盖住大图纸上那个有你姓氏的格子，然后他“掐指一算”，就报出了你的姓氏。我见识过几次，没有不准的，来算命的无不称奇慨叹！我也好奇他是怎么做到的，后来我想明白了，一定是小纸片和盖住的小格子上只有一个相同的姓氏。我拿起小纸片一对照，果不其然。后来，我也开始卖弄了，只要有人用小纸片盖好小格子，我就拿起来迅速一对照，结果有几次比算命先生还先得出结果，我记得当时猜中一人姓蒋（与委员长同姓，所以印象深刻）。他老人家脸上开始不好看了，于是就喝令我一边玩去。
20多年过去，大街上仍然有算命先生玩这个把戏，仍有不少人疑惑不解，乃至迷信其神。网上有不少朋友追问这个把戏究竟什么玄机，也有人解密，不过他们似乎没有真正讲明白这一点——如何保证小纸片和盖住的小格子上只有一个相同的姓氏？例如，见2017年春节期间的一个视频。
这里我想介绍一个思路（最近偶然想到，算命先生也许用别的，但我想绝不至于比这方法还简单了），它也许是最简单的，可以保证每个人都能当一回“神算子”。
首先，我们要有一张大图纸，上面分布着常见的百家姓。按照百度百科，
《百家姓》，是一篇关于中文姓氏的文章。按文献记载，成文于北宋初。原收集姓氏 411个，后增补到568个。
为简单起见，我们这里仅选取出现频率最高的前300个姓氏，以下排名取自网络（排序是否准确与猜姓氏无关，要紧的是，我们只需要给出一个排序）。
2017年中国人口最多的前300大姓1：李2：王3：张4：刘5：陈6：杨7：赵8：黄9：周10：吴11：徐12：孙13：胡14：朱15：高16：林17：何18：郭19：马20：罗21：梁22：宋23：郑24：谢25：韩26：唐27：冯28：于29：董30：萧31：程32：曹33：袁34：邓35：许36：傅37：沈38：曾39：彭40：吕41：苏42：卢43：蒋44：蔡45：贾46：丁47：魏48：薛49：叶50：阎51：余52：潘53：杜54：戴55：夏56：钟57：汪58：田59：任60：姜61：范62：方63：石64：姚65：谭66：廖67：邹68：熊69：金70：陆71：郝72：孔73：白74：崔75：康76：毛77：邱78：秦79：江80：史81：顾82：侯83：邵84：孟85：龙86：万87：段88：漕89：钱90：汤91：尹92：黎93：易94：常95：武96：乔97：贺98：赖99：龚100：文
2017年中国人口最多的前100至200大姓101：庞102：樊103：兰104：殷105：施106：陶107：洪108：翟109：安110：颜111：倪112：严113：牛114：温115：芦116：季117：俞118：章119：鲁120：葛121：伍122：韦123：申124：尤125：毕126：聂127：丛128：焦129：向130：柳131：邢132：路133：岳134：齐135：沿136：梅137：莫138：庄139：辛140：管141：祝142：左143：涂144：谷145：祁146：时147：舒148：耿149：牟150：卜151：路152：詹153：关154：苗155：凌156：费157：纪158：靳159：盛160：童161：欧162：甄163：项164：曲165：成166：游167：阳168：裴169：席170：卫171：查172：屈173：鲍174：位175：覃176：霍177：翁178：隋179：植180：甘181：景182：薄183：单184：包185：司186：柏187：宁188：柯189：阮190：桂191：闵192：欧阳193：解194：强195：柴196：华197：车198：冉199：房200：边
2017年中国人口最多的前200至300大姓201：辜202：吉203：饶204：刁205：瞿206：戚207：丘208：古209：米210：池211：滕212：晋213：苑214：邬215：臧216：畅217：宫218：来219：嵺220：苟221：全222：褚223：廉224：简225：娄226：盖227：符228：奚229：木230：穆231：党232：燕233：郎234：邸235：冀236：谈237：姬238：屠239：连240：郜241：晏242：栾243：郁244：商245：蒙246：计247：喻248：揭249：窦250：迟251：宇252：敖253：糜254：鄢255：冷256：卓257：花258：仇259：艾260：蓝261：都262：巩263：稽264：井265：练266：仲267：乐268：虞269：卞270：封271：竺272：冼273：原274：官275：衣276：楚277：佟278：栗279：匡280：宗281：应282：台283：巫284：鞠285：僧286：桑287：荆288：谌289：银290：扬291：明292：沙293：薄294：伏295：岑296：习297：胥298：保299：和
300：蔺
你现在设想，这300个姓氏被摊在一张具有12个小格子的纸上，每个格子有25个姓，第 i个格子对应的那25个性，其序号恰好对应于那些被12除余i的数，即形如12k+i（其中k=0,1,2，…24 ）的数，例如，
第1个格子所对应的姓，是以下25个（序号形如12k+1，k=0,1,2，…24），我们排成5行5列【此处要感谢启功先生】：
第2个格子所对应的姓，是以下25个（序号形如12k+2，k=0,1,2，…24）：
类似地，可列出第3个、第4个……第12个格子所对应的25个姓氏，由于剧情需要，我们这里再给出第4个格子所对应的25个姓（其序号形如12k+4，k=0,1,2，…24）：
总共恰好有300个姓氏。注意，为了方便起见，更可取的是，会在每个格子里标注一个数字，表明其中各个姓氏所对应的序号被12除的余数。例如，上图很可能标记为
接下来到了第二步，构造25张小卡片，每张纸上有12个姓氏。现在也许你都可以猜到怎么构造了。
第 j 张小卡片上的姓氏所对应的序号为 25l +j , 其中 l=0, 1, 2, …，11。
例如，第1张小纸片上的12个姓氏（对应序号为25l+1，其中l=0,1,2,…，11）为
第2张卡上的12个姓氏（对应序号为25l+2，其中l=0,1,2,…，11）为
…………………………………………………………………………………………
类似地，可以造出全部25张卡片。为剧情需要，我们再列出第16张卡片上的12个姓氏（对应序号为25l+16，其中l=0,1,2,…，11）为
现在我们可以保证，第 j 张卡片与第 i 个格子恰好只有一个相同的姓。这里隐含了一个著名的数学定理，数论中有名的 中国剩余定理。 在我们的情况，它相当于说：
设 i，j 是给定的整数，则在1到300这些数中，有且仅有一个整数 x 同时满足下述两个条件：x被12除余 i，x被25除余 j。并且这个x可以这样求得，令y=25i-24j, 则 x=y+300k，其中k是一个适当的整数， 使得x在1到300之间。注意，要紧的是，12与25互素（即能够同时整除它们的正整数只有1），且300恰好是它们的乘积。
回到我们原来的问题，不难从上述表达式分析得到下述结果：
若 i≥j，则 x 恰好是第 j 张卡片上的第s个姓氏；这里s=（i-j+1）+12 t，其中t是一个适当的整数， 使得s在1到12之间。注意，根据这个分析，我们不需要知道（或记忆）那300个姓氏的序号，只需要知道，i与j，并且从第 j 张卡片就可以读出 x，它就在第(i-j+1)个位置——在模12的意义下。只要你会做两位数以内的加减法，会数数，你就会玩这个把戏了！
好了，道具已经备齐，现在我们可以玩把戏了。
比如在本人的情况，当我告诉了你，我的基本信息是i=4, j=16以后，你立即可以算出
i-j+1=4-16+1=﹣11，
从而s=1（取t=1），也就是说，我的姓在第16张卡片（见上图）的第一个位置，即我跟紫霞同姓（紫霞当然姓林了，因为她的姐姐青霞的全名是林青霞）：
好了，我想很多人应该会有兴趣尝试一下了，来吧，实践出真知。只有当你完全准备好以上12+25=37个道具以后，你才能对姓氏在这300个姓氏中的朋友玩转这个游戏。（无论如何，虽然这营生成本低，我还是希望各位读者不要学了这把戏去挣钱。你想想，要是做个简单的减法都能挣钱，那是不是也来得太容易了！请大家尽量转发分享这篇文章，提醒世人不要被算命先生故作玄虚的雕虫小技蒙蔽了！）
按照上述原理，你也可以自行设计不同规格的道具（也许一个更好的选择是600个姓氏，它分解为两个互素的数24与25的乘积），只要它们满足中国剩余定理的互素条件即可。对于需要了解中国剩余定理的朋友，我们将在关于初等数论的系列讲座中详谈。若要一睹为快，可以参看这里的一个PPT，从射雕到九章——在天大理学院物理系的通俗报告。当你清楚中国剩余定理的本质以后，应该不难理解我这里简单陈述而未加证明的结论。我们留给有兴趣的朋友吧！
小把戏背后其实藏着美妙的数学，对数学爱好者而言，这何尝不是一种惊喜？
思考：街头算命先生往往能够根据你的生肖猜出你的年龄，知道这是为什么吗？
比如说，如果我告诉你我属猪，而且你又能看出，我不足四十一朵花，又超过三十一枝芽，你猜我多大？
为方便你对照答案，可以告诉你，鄙人与下一版《射雕英雄传》同岁：
下集
昨日我在本号发表的文章算命是胡扯，猜姓却不然引发了不少读者和朋友的反响，他们的反馈让我对这个小把戏有了进一步认识，因此今天我想趁热打铁，继续跟大家分享我的心得。
昨晚七点多钟发布完公众微信号，我最先接到本科同学刘新亮的电话，他现在天津耀华中学教数学。他跟我讲，看到这篇推送很高兴，因为他下周要去到上小学的孩子班上给讲点数学，他正发愁讲点什么内容好。看到这个，他眼前一亮，所以立即给我打了一个电话。我也觉得这个题目不错，至少准备道具很简单。一个班最多五六十人（准确地说，需要考虑的只是姓氏的个数，鉴于经常有同姓的同学，所以姓氏个数会更少），他准备十来张卡片就够了（比如说，56=7*8,7+8=15）。这个游戏尤其适合新生开学的第一堂数学课，当学生与老师都还不熟悉的时候，老师如果通过这个简单的游戏一下子就猜出学生姓什么，其形象一下子就高大起来了，同时学生们也立即记住了这个学生的姓氏，再进一步让学生说出自己的全名，这个印象就深刻多了！想到这些，我当时的得意之情，完全可以用下述图片来形容：
十点多快要入睡时，又收到了好友刘云朋的一条消息（今天上午也有网友在评论区留言表达了相同的意思，非常感谢！），我瞬间切换到下图：
云朋兄发给我的消息如下：
第一次知道这样的把戏，很有趣。我有一个表面上稍不同的理解：假设有100个姓，把它们排成10×10的方阵，然后将同一行的姓填入大图纸中的同一格，把同一列填入同一小图纸，于是每种大小图纸的组合就给出这个矩阵的行指标和列指标，从而标记了既处于指定行又处于指定列的那个元素。他说的方法更简单了，我们就照他说的方法，来玩一个猜百家姓的把戏。首先，我们选取100个姓氏，如昨天一样，我们不妨从网络选取下表
现在每一行的10个姓氏放入一个小格子，为让蒙蔽效果更好，我们可以将这10个姓氏排成三角垛，例如，第1行的10个姓氏（按照自然顺序）排成下述形状
第2行的10个姓氏（按照自然顺序）排成下述形状
依次类推，一直排到第10行。接下来再将每一列的10个姓氏排在小卡片上，如第1列的10个姓氏为
第2列的10个姓氏为
为剧情需要，我们再给出第6列的10个姓氏
好了，道具20张纸备齐以后，我们就可以来玩猜姓把戏了。比如，你可以确认一下，紫霞的姓（林，表格中对应坐标16）是不是满足这样的规律，它恰好在第6列的第2个位置。再如，你也可以验证金庸《倚天屠龙记》里那位风一样的女子的姓（杨，表格中对应坐标06）是不是也满足这样的规律。
容易发现，与上一篇介绍的用中国剩余定理的方法相比，刘云朋老师（任教于天津大学理学院物理系）介绍的上述方法更简洁，我反思了一下，发现我们的差别可以这样理解：
我之前思路是一维的（用数为坐标），而云朋兄这里的思路是二维的（用二个数为坐标）。他进化得比我多些。另一方面，原先的思路由于其复杂性，可能更不容易被外行发现。街头的各路神仙也许倾向于采取云朋这里的方法。如果学生与老师都熟悉了，当然就不必猜学生的姓名了，这时候可以改为猜学生母亲的姓氏（只考虑那些随父亲姓的同学）。
而对于街头的各路神仙，可以改为猜各位的意中人的姓氏，牛皮可以这样吹：“你的意中人姓什么，除了你和你的意中人知道，半仙我也知道！来，我告诉你上天给你安排的姻缘在哪里。”
当来者发现你猜对意中人的姓氏，有了这样的表情
以后，作为半仙的你还可以借机发挥一下：
到了这个时候，咱们也可以见好就收了！要防着，人家也许有两个同姓的意中人，还是留给TA自己取舍吧！
作者注1：上一篇有读者“青青子衿”留言说“我只知道小编爱上了紫霞”，我想更正一下，是作者本人爱上了紫霞（文中图片均作者自己配好），有本篇为证，也可见本人更早一篇作品，从“三七二十一”到“素数之无穷”。
作者注2：有学数学出生的朋友告诉我，他也曾遇到类似的半仙，也前去拆台，幸而他从半仙充满杀气的眼神中预算到可能要被灭口，这才捡回一条命，终究当上了老总。故事虽然夸张，但在情理之中。建议大家不要当面拆台（风险太大，在社会上终止问题的可能是拳脚），可以考虑当个娱乐游戏在公众场合多普及，也许上当的人就少了。
作者注3：留言区有朋友认为，这个把戏用到了数学，有文化内涵，更有美好祝福，凭此哄点小钱也未尝不可。对此，我倒不反对，但我觉得这主要就是一个娱乐——当然，你要是把人逗乐了，收点钱人家估计也会给。不过，从猜姓把戏中获得乐趣的，主要是半仙，TA为自己披上了神秘色彩；作为前来测试的人，自己当然知道自己姓什么，更没有必要让半仙知道自己姓什么。
作者注4：我想强调的是，猜姓与算命不同，前者是有理有据的，而后者则是胡扯、唬人，比如，《饭局也疯狂》里的大师：
游戏玩一玩无妨，可是坑蒙拐骗就不要参与了，伤感情。圈圈套套，无非图个财与色。我喜欢开门见山，正大光明，简单粗暴，像这样：
或者稍微含蓄一点，又不失果决，像这样：
如果你了解我，我想你应该猜得到，我期待的回应是怎样的：
全剧终
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