“数学，这个独立于经验的人类思维的产物，为何能如此完美地符合物理实在中的对象？”
——爱因斯坦
上千年来，令人印象深刻的数学研究和广博的哲学思考都没有真正解释清楚数学力量的奥秘，甚至可以说，在某种意义上，数学的这种神秘感又加剧了。
神秘的三个世界著名的英国牛津大学数学物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）意识到，人类周围不仅有一个世界，而应该有三个神秘世界。按彭罗斯的划分，这三个世界是：意识感知的世界、物理现实的世界和数学形式的柏拉图世界。
第一个世界是我们所有精神影像的家园，包括我们看到自己孩子笑脸时的欢欣愉悦，欣赏落日余晖壮美景色时的心旷神怡，或者观察怵目惊心的战争场面时的恐惧和憎恶。在这个世界中还包括爱、忌妒、偏见、害怕，以及我们欣赏音乐、闻到美食时的感觉。
第二个世界就是我们日常所提到的物理现实世界，包括鲜花、阿司匹林药片、白云、喷气式飞机，还有星系、行星、原子、狒狒的心脏和人类的大脑，这些真实存在的东西构成了这个世界。
第三个世界是数学形式的柏拉图世界。这里是数学的家园，对彭罗斯而言，这个世界和精神世界与物理世界一样，也是真实存在的，在其中有自然数 1, 2, 3, 4,…，欧几里得几何学中的所有图形和定理，牛顿运动定律、弦论、突变论以及研究股票市场行为的数学模型等。
彭罗斯还观察到了这三个世界之间神秘相连的三种现象。首先，物理世界的运行似乎遵循着一定的法则，而这些法则真实存在于数学世界中。这也令爱因斯坦感到困惑。诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳（Eugene Wigner，1902—1995）也有同样的疑惑：
“数学语言适于表达物理法则，这种奇迹是上天赐予我们的绝妙礼物。事实上，我们并未真正理解这份礼物，同时也受之有愧。我们应当感谢这份礼物，希望它在未来的研究中仍然有效，而且可以给予我们欢乐，抑或困惑——无论是好还是坏——以及广泛的学问。”
其次，人类感知心智（perceiving mind）本身——这是我们主观认知能力的源泉——似乎来自物理世界。心智究竟是如何从物质中产生的？我们是否能够将人类意识的工作机制上升为一种理论，令其如同今天的电磁场理论那样条理清晰、令人信服？最后，这三个世界神秘地联到一起，形成了一个闭合的圆。通过发现或创造抽象的数学公式和概念，并将它们清晰地表达出来，感知心智才得以奇迹般地进入数学王国之中。
彭罗斯并未给出任何关于这三个世界神秘现象的解释。实际上，他的结论非常简洁：“毫无疑问，并不真正存在三个世界，而是只有一个世界。并且直到目前为止，对于这个真实世界的本质，我们对它的认识甚至连肤浅也谈不上。”
戏剧里的数学谜题英国作家艾伦·贝内特（Alan Bennett）创作的戏剧《四十年来》（Forty Years On）中的那位教师也回答过类似的问题，与之相比，彭罗斯的回答可谓谦逊而坦白。下面就是那位教师的回答。
福斯特：先生，我对（圣父、圣灵、圣子）三位一体的说法仍然有点困惑。
教师：三合为一，一分为三，简单明了。对此有任何疑问，就去请教你的数学老师。
这个谜题甚至比我刚才提到的那个问题更错综复杂。利用数学成功解释我们周围的世界（维格纳称之为“数学无理由的有效性”），实际上可以从两个方面去认识，它们都同样令人惊奇。
第一，是其“主动”的一面。当物理学家在自然的迷宫里迷失方向时，数学会为他们照亮前方的道路，他们使用和创造的工具、建立的模型，以及他们所期望得到的解释，所有这些都离不开数学。显然，这本身就是一个奇迹。牛顿观察到了落地的苹果、月亮和海滩上的潮汐（我不是很确信他是否真正看见了），不过他所看到的可都不是数学方程式。但是牛顿却从这些自然现象中抽象并总结出了清晰、简洁、精准的数学规律。同样，苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831—1879）在 19 世纪 60 年代拓展了经典物理学范畴。他仅仅使用 4 个数学公式，就解释了所有已知的电磁学现象。可以想象，电磁学和光学实验通常充斥着大量细节性信息，数据量十分巨大，以前都需要用大量篇幅才能归纳和解释所有这些现象和结论，但现在只需要 4 个简洁的方程式就够了！爱因斯坦的广义相对论更令人惊叹，它是数学理论中极度精确与自相一致的一个完美范例，这个理论揭示的正是如时空结构一类的基础事物。
除了“主动”的一面之外，数学的神秘效应还包括“被动”的一面，让人意想不到的是，后者甚至会令前者黯然失色。当数学家研究、探索数学概念以及各种概念之间的关系时，有时仅仅出于理论研究的目的，绝对没有考虑过理论的实用性问题。但是在几十年后（有时甚至是几百年后），人们突然发现，他们的理论出人意料地为物理现实问题提供了解决方案。你可能要问，这怎么可能呢？那位行为古怪的英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）的例子就十分有趣。哈代为他的纯理论数学研究感到非常自豪，他曾断言：“我的发现今天没有、将来也不会给世界带来丝毫影响——无论这种影响是直接还是间接的，有益抑或有害的。”猜猜结果如何？他错了！他的一项研究成果被命名为“哈代 – 温伯格定律”，这是以哈代和德国物理学家威廉·温伯格（Wilhelm Weinberg，1862—1937）的名字命名的，该定律是遗传学家研究人口进化的基础。简单地说，哈代 – 温伯格定律认为：如果一个基数很大的人口群体随机婚配（没有人口迁移、基因突变和选择性婚配），基因构成将保持恒定，而且不因世代变化而变化。表面上，哈代研究的是抽象的数论——一门研究自然数的学科，但人们出乎意料地发现其研究成果能解决现实问题。1973 年，英国数学家克利福德·柯克斯（Clifford Cocks）利用数论在密码学领域取得了突破性进展。柯克斯的研究成果再次证明了哈代的言论已经过时。哈代在其 1940 年出版的那本著名的著作《一个数学家的辩白》中声称：“还没有人发现数论能被用于战争目的。”很明显，他又错了！在现代军事信息传递中，密码学绝对不可或缺。因此，尽管哈代是最有名的实用数学批判论者，可是最终还是被“拽去”研究具有实用价值的数学理论了——如果他还在世的话，一定会对此高声抱怨。
数学：科学家最广泛的“语言”这只是冰山一角。开普勒和牛顿发现了太阳系行星运行轨道是椭圆形的，而古希腊数学家门奈赫莫斯（Menaechmus）在两千年前，即大约公元前 350 年就已经研究过这条曲线了。波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）在 1854 年的一次经典演讲中概括了几门新兴几何学的主要内容，它们恰好是爱因斯坦解释宇宙结构时所必需的工具。还有一门叫作“群论”的数学“语言”，它是由年轻的数学天才伽罗瓦（Evariste Galois，1811—1832）创建的。起初，群论仅仅用来判别代数方程式的可解性，但今天，它已经被物理学家、工程师、语言学家甚至人类生态学家们广泛使用，用来研究几乎所有的对称性问题。此外，数学上的对称概念在某种程度上还颠覆了整个科学的研究过程。几个世纪以来，科学家认识宇宙的第一步都是在反复实验和试错后，收集汇总数据和结果，再从其中归纳出通用的自然规律。这种梳理过程从局部观察开始，之后像拼图一样，观察结果被一块块地拼接起来。进入 20 世纪后，人们认识到条理清晰的数学设计并描述了亚原子世界的基础结构，于是，当代物理学家们开始反其道而行之 。他们把数学的对称性置于第一位，坚持认为自然法则和构成事物的基本要素应当遵循某种特定模式，并根据这种要求，推演出通用规律。自然界是如何知道应当遵循数学上的对称原理呢？
在 1975 年的某天，年轻的数学物理学家米奇·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室利用他的 HP - 65 便携式计算器演算一个简单的方程式。他渐渐注意到，计算器上的数越来越接近一个特定的数：4.669...。他惊奇地发现，在演算其他方程式时，这个神奇的数再次出现了。费根鲍姆虽然还不能解释其中的原因，但他很快就得出结论，自己发现的这个数似乎标志着从有序到混沌过渡时的某种普遍性规律。你大可不必对此感到惊讶，物理学家们在一开始时都是怀疑论者。究竟是什么原因导致那些看起来差异极大的系统行为背后拥有相同的数学特征呢？专家经过半年的评审，还是将费根鲍姆就此专题撰写的第一篇论文退稿了。不久之后，实验证明当液态氦从底部开始加热时，其变化过程同费根鲍姆的通用解决方案的预测结果恰好一样。人们发现不仅这一种体系会如此表现。费根鲍姆发现的这一令人惊讶的数不但出现在流体从有序流向紊乱的转换过程中，也会出现在水龙头滴水的过程中。
尔后人们才证实了，很多学科研究都需要数学的“预言”，这样的情况仍在不断上演。数学世界和真实（物理）世界之间那种神秘的、意想不到的相互影响，在纽结理论（这是一门研究绳结的学科）中得到了生动体现。数学上的“纽结”与现实中绳索上的结十分类似，只不过，这根绳索的头与尾必须连接在一起。也就是说，数学上的纽结位于一条闭合的、没有自由活动绳端的曲线之上。说来奇怪，创建纽结理论的主要起因是 19 世纪发展起来的一种错误的原子结构模型。这个模型在提出 20 年后就被证明是错误的了，但是，纽结理论作为一门相对难以理解的理论数学分支，却在不断发展演化。出人意料的是，数学家在纽结理论领域所做的抽象探索，突然间在现代科学研究中有了十分广泛的应用。其应用范围涵盖脱氧核糖核酸（DNA）分子结构、弦论（弦论试图将亚原子世界和引力统一起来），等等。这段“循环”的历史也许是一个最好的例证，充分说明了数学各分支如何在人类试图解释物理现象的过程中产生，随后如何进入数学的抽象王国，并在其中发展，最终又如何出人意料地回到了物理世界的起点。
本文节选自《最后的数学问题 》
《最后的数学问题》 作者：[美] 马里奥·利维奥 译者：黄征
这既是一本经典的思想史巨著，又是一本妙趣横生的故事书，献给所有喜爱数学、历史和哲学的读者。
数学是人类的发明还是发现？数学貌似能解释宇宙万物，而这种无处不在的威力究竟从何而来？从信奉“万物皆数”的毕达哥拉斯、刀斧之下依然从容演算的阿基米德，到探索宇宙奥秘的近代科学十足伽利略和剔除“我思，故我在”的解析几何之父笛卡尔，再到反对柏拉图主义的现代数学家阿蒂亚，数学思想在千百年来人类的深层思考中不断演变、一脉相承。这些伟大科学家的传奇经历、重要贡献及其在数学史上的远见卓识，绘成一幅斑斓的数学思想史画卷，在作者的妙笔下缓缓舒展。
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